Допустим, к вашей радости, пассия останавливается и говорит: «Привет!». Каковы шансы, что она примет приглашение на выпускной бал? Преподобный Байес предписывает нам убрать 25% песчинок из банки «да» и 75% песчинок из банки «нет» (в обоих случаях это соответствует доле случаев, в которых наблюдаемый результат не состоялся бы). У нас осталось 60 x 0,75 = 45 песчинок в баночке «да» и 40 x 0,30 = 12 песчинок в баночке «нет». Согласно вышеприведённому правилу песчинок, уточнённая субъективная вероятность для «да» — это число песчинок в баночке «да» (45), делённое на общее число песчинок в обеих баночках (45 + 12 = 57). Получается 0,79.

Неплохо! Субъективная вероятность положительного ответа на приглашение повысилась с 60% (априорная) до 79% (апостериорная), притом что девушка просто остановилась и поздоровалась с вами! Думаю, уже надо костюмчиком озаботиться.

Однако постарайтесь уловить под грузом математических деталей основной посыл. В байесовской философии любая посылка (суждение) о мире, которая может быть истинной или ложной, получает априорную субъективную вероятность. Каждая такая посылка также сопровождается набором объективных вероятностей: шансов на истинность различных иных фактов при условии истинности данной посылки. Всякий раз, получая новую информацию, мы корректируем степень уверенности, умножая исходную субъективную вероятность на соответствующую объективную вероятность сделать такое наблюдение при условии истинности каждой из посылок. В виде формулы это выглядит следующим образом:

(Субъективная вероятность посылки X при наличии наблюдения D) ? (Шанс получить наблюдение D при посылке X) x (Априорная субъективная вероятность посылки X)

Это суть теоремы Байеса. Символ «?» означает «пропорционально». Он просто напоминает: нужно удостовериться в том, что все значения субъективной вероятности в сумме должны давать единицу.

* * *

В некоторых случаях кажется естественным задавать числовые значения субъективной вероятности: например, если речь идёт о покерных раздачах или подбрасывании монетки, где можно запросто подсчитать все возможности. Кроме того, о «вероятности» часто говорят, рассуждая о будущих событиях: «Вероятность того, что залётный астероид врежется в Землю и вызовет массовое вымирание, составляет менее одного процента».

Однако байесовский подход более универсален. Он напоминает о том, что мы присваиваем значения субъективной вероятности и корректируем их, обдумывая любое фактическое предположение о мире, которое может оказаться истинным или ложным. Есть ли Бог? Можно ли объяснить опыт наших внутренних переживаний в чисто физических терминах? Существуют ли объективные стандарты «правильного» или «неправильного»? Все возможные ответы на такие вопросы — это посылки, причём любому из них каждый человек присваивает ту или иную субъективную вероятность (хотя может этого и не признавать), которую корректирует по мере поступления новой информации (хотя может делать это и неправильно).

Теорема Байеса позволяет количественно оценить нашу степень уверенности в чём-либо, но также помогает не забыть, каким вообще механизмам подчиняется вера. Размышляя об априорных субъективных вероятностях таким образом, можно извлечь ряд полезных уроков.

О важности предшествующих убеждений. Пытаясь понять, какие представления о мире истинны, каждый начинает эту игру, имея определённые собственные представления о том, какие предположения вполне убедительны, а какие — относительно маловероятны. Это не досадная ошибка, которую нам следовало бы исправить; это абсолютно необходимый элемент рассуждений, когда мы располагаем неполной информацией. Когда же речь заходит о понимании фундаментального устройства реальности, полной информацией не обладает никто.

Априорные субъективные вероятности — отправная точка для дальнейшего анализа, и сложно сказать, какие из них «верны», а какие «ошибочны». Однако в данном случае следует упомянуть несколько удобных железных правил. Пожалуй, наиболее очевидное таково: сравнительно простые теории должны получать более высокую априорную субъективную вероятность, чем более сложные. Это не означает, что более простые теории всегда верны; однако, если простая теория ложна, мы узнаем об этом, собрав информацию. Как выразился Альберт Эйнштейн, «пусть это будет просто, просто как только можно, но не проще».

Иногда о простоте легко судить, порой — не очень. Сравним три конкурирующие теории. Согласно первой, движение планет и спутников в Солнечной системе подчиняется, как минимум с очень хорошим приближением, ньютоновской теории тяготения и движения. Вторая теория утверждает, что ньютоновская физика вообще не работает, но к каждому небесному телу приставлен ангел и эти ангелы ведут планеты и спутники по орбитам, причём эти траектории совершенно случайно совпадают с теми, что вычислил бы Ньютон.

Большинству из нас, вероятно, покажется, что первая теория проще второй — она даёт те же результаты, но без привлечения столь неопределённых сущностей, как ангелы. Однако есть и третья теория: ньютоновское тяготение определяет движение всех тел в Солнечной системе, кроме Луны, которую направляет ангел, и этот ангел просто старательно следует траектории, которую предсказывает теория Ньютона. Вполне бесспорно, что, независимо от вашего мнения о первых двух теориях, третья определённо сложнее первых двух. В ней задействованы все механизмы первой и второй теории, а её эмпирические прогнозы на практике ничуть не лучше. Следовательно, мы вправе присвоить ей очень низкую априорную субъективную вероятность. (Этот пример кажется несерьёзным, но аналогичные ходы постоянно применяются в рассуждениях о развитии биологической эволюции или о природе сознания.)